Критерий Келли: что он считает и почему оценка шанса его ломает

Критерий Келли — формула, которая по вашей оценке шанса и коэффициенту выдаёт долю банка для одного события. Если оценка равна шансу, который заложен в цену без маржи, доля нулевая. Если цена содержит маржу конторы, доля отрицательная, в расчёте 0 ед. Это расчёт, а не подсказка: Линза ставок не делает, суммы ниже — в условных единицах.

Посчитать шансы на матч турнира — в приложении

Что считает формула

Джон Келли описал её для задачи о росте капитала на длинной серии одинаковых событий (Bell System Technical Journal, 1956). Доля банка f = (p × k − 1) / (k − 1), где p — ваша оценка шанса в долях, k — десятичный коэффициент. Числитель p × k − 1 — то же выражение, что в статье про ценность оценки и цены. Если оно меньше или равно нулю, формула даёт ноль: в расчёте 0 ед.

Важное условие: формула верна, только если p — настоящий шанс. Любая ошибка оценки входит в результат без поправки.

Пример в единицах

Возьмём пару 2,10 / 1,75 — ту же, что в статье про маржу и честный шанс. Сумма 1 / k даёт 104,8%, маржа конторы 4,8%. Честный шанс первого исхода после снятия маржи — 45,1%, честный коэффициент — 2,22. Условный расчётный банк — 1 000 ед.

Случай первый: ваша оценка совпала с честным шансом, 45,1%. По цене 2,10 числитель равен −0,052, формула даёт −0,048. Доля отрицательная: в расчёте 0 ед. Минус 5,2% — это и есть маржа, которая приходится на этот исход.

Случай второй: цена без маржи, 2,22, оценка та же, 45,1%. Числитель ровно ноль, доля ноль. Формуле нужно расхождение вашей оценки с ценой, а не сама цена: при согласии с рынком его нет даже без маржи.

Почему оценка ломает формулу

Граница при цене 2,10 — шанс 47,6% (1 / 2,10). Это на 2,5 п.п. выше честных 45,1%: разницу и составляет маржа. Теперь допустим, что настоящий шанс остался 45,1%, а вы оценили его в 48,0%, то есть ошиблись на 2,9 п.п. Формула даёт 0,48 × 2,10 − 1 = +0,008 и долю +0,007, то есть 7,3 ед. из 1 000. Это тоже следствие ошибки оценки. Оценка 47,0% даёт −0,013 и ноль.

Знак переворачивается между 47,0% и 48,0%, то есть всего в одном пункте от границы. Поэтому ошибка оценки в 2–3 п.п. переворачивает вывод. Ошибочная оценка 50,0% (на 4,9 п.п. выше настоящего шанса) даст в расчёте 4,5%, то есть 45,5 ед. из 1 000. Это следствие ошибки, а не вывод: настоящее ожидание на этой цене — минус 5,2%.

По нашей проверке (eval/REPORT.md), модель Линзы не точнее рыночной цены, поэтому «лучшую» оценку в формулу подставить нечем. Если вы подставляете свою, её нужно проверять на длинной серии записанных заранее оценок, как в журнале прогнозов Линзы — по калибровке и цене против закрытия (статья про CLV).

Что из этого следует

При оценке, равной честной цене рынка, формула даёт ноль. При цене конторы с маржой — минус. «Положительная доля» появляется только там, где ваша оценка выше цены, а это гипотеза, не вывод.

Чем уже зазор между вашей оценкой и ценой, тем сильнее результат зависит от шума. В примере выше зазор в 1 п.п. меньше ошибки оценки в 2,9 п.п.

Бывают дробные варианты формулы (четверть доли, потолок). Они уменьшают размах расчёта, но не делают оценку точнее.

Формула ничего не говорит о том, сбудется ли конкретный исход. Даже при верной оценке 45,1% исход не сбывается в 55 случаях из 100.

Числа в примерах этой статьи сверяются автотестом с расчётом кода Линзы при каждой проверке перед выкладкой сайта. Это сверка арифметики, а не прогноз исхода матча.

Это расчёт, а не совет ставить. 18+

Если ставки выходят из-под контроля — самозапрет на Госуслугах или в МФЦ (от 12 месяцев, во всех легальных конторах).

Что дальше читать

• Ценность (value): когда оценка шанса отличается от цены
• Маржа букмекера: что это и как её посчитать
• Что такое CLV и почему цена закрытия важнее одного результата